Cấp số nhân là phần kỹ năng cần thiết nhập công tác toán trung học phổ thông. Trong số đó, những công thức cấp cho số nhân khá phức tạp. Vì vậy, nhằm thực hiện bài bác luyện thì những em cần thiết ghi ghi nhớ và biết phương pháp áp dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại những công thức và bài bác luyện cấp cho số nhân qua loa nội dung bài viết tại đây.

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một trong sản phẩm số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhì, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng tức thì trước nó với một vài ko thay đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp cho số nhân). Có nghĩa là:

$u_{n}$ là cấp cho số nhân với $\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1}$ với $n \in N^{\ast }$

Ví dụ: Dãy số $(u_{n})$ , với $u_{n}=3^{n}$ là một trong cấp cho số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội q = 3.

2. Công bội q

q là công bội của cấp cho số nhân u_n có

Công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân $u_{1}=3,u_{2}=9$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3$

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân $u_{3}=8,u_{4}=16$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2$

3. Tính hóa học cấp cho số nhân

$(u_{n})$ là một trong cấp cho số nhân thì kể từ số hạng loại nhì, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cấp cho số nhân hữu hạn) tiếp tục vị tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

$\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}$

Nếu một cấp cho số nhân u_n với số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát lác u_n sẽ tiến hành tính vị công thức:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$

Ví dụ : Cho cấp cho số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0.

Biết u₁ = 1; u₃ =3. Hãy lần u₄

Lời giải:

Ta có: u₂²= u₁. u₃= 3

u₃²= u₂. u₄

Từ (1) bởi u₂ > 0 ( vì như thế u₁=1 > 0 và q > 0)

$\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}$

Khi q = 0 thì sản phẩm với dạng u₁; 0;0…;0;… và S_n=u₁
Khi q = 1 thì sản phẩm với dạng u₁;u₁;u₁;...;u₁;... và S_n=nu₁.
Khi u₁= 0 thì với từng q, cấp cho số nhân với dạng 0; 0; 0;…; 0;… và S_n=u₁.

Đăng ký tức thì nhằm được trao hoàn toàn cỗ kỹ năng về cấp cho số nhân

4. Tổng hợp ý những công thức tính cấp cho số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

Tính $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall n \geq 1$
Kết luận:

Nếu q là ko thay đổi thì sản phẩm u_n là cấp cho số nhân
Nếu q thay cho thay đổi thì sản phẩm u_n ko là cấp cho số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cấp cho số nhân với số hạng loại nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng trước tiên.

Lời giải:

Ta với 6 số hạng trước tiên là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân U_n với số hạng loại nhì là 10 và số hạng loại năm là 1250.

Tìm số hạng loại nhất
Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

Đặt r là công bội của cấp cho số nhân.

Ta có: r^(5-2)= r³ hoặc r³ = 1250 : 10 = 125 = 5³. Từ cơ r = 5.

$\Rightarrow$ u1=10=5=2.

Số hạng loại nhất là 2

2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài cho tới cấp cho số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$ . Dãy số U_n bên trên là cấp cho số nhân đích thị hoặc sai?

Lời giải:

Ta có: $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const$ không tùy theo n. Vậy sản phẩm số (U_n) là một trong cấp cho số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt3$

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp cho số nhân

Phương pháp: Sử dụng những đặc điểm của CSN, thay đổi nhằm tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân U_n với U₁ = 2, U₂ = 4. Tính công bội q.

Từ công thức tớ có: $q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2$

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân U_n với U₁ = 3, U₂ = -6. Tính công bội q.

Lời giải:

Từ công thức tớ có:

$q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2$

Ví dụ 3: Đề cho tới tía số x,y,z lập trở nên một cấp cho số nhân và tía số x, 2y, 3z lập trở nên một cấp cho số nằm trong. Tìm công bội q.

Lời giải:

Đặt q là công bội của cấp cho số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập trở nên một cấp cho số nằm trong $\Rightarrow x+3z=4y$

Giải vấn đề công thức cấp cho số nhân

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp cho số nhân

Phương pháp:

Để lần số hạng của cấp cho số nhân tớ dùng công thức tính số hạng tổng quát lác U_n = U₁.q_n-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u₁và q của cấp cho số nhân biết:

$\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 72\\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Ta trở nên đổi:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 72\\ u_{1}q^{4} - u_{1}q^{2} = 144 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 72\\ u_{1}q^{2}(q^{2} - 1) = 144 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow q = \frac{144}{72} = 2 \Rightarrow u_{1} = 12$

Vậy cấp cho số nhân (u_n) với u₁ = 12 và q = 2

Ví dụ 2: Bài cho tới cấp cho số nhân (u_n) với u₃= 8 , u₅= 32. Số hạng loại 10 của cấp cho số nhân cơ là?

Lời giải:

Gọi q là công bội của cấp cho số nhân (u_n), tớ với $q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2$

Với q = 2, tớ với u₁₀= u₃. q^₇= 8 . 2^₇= 1024

Với q = -2, tớ với u₁₀= u₃. q⁷= 8 . (-2)⁷= -1024

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân (u_n), hiểu được số hạng trước tiên u₁= 3, công bội là 2. Hãy lần số hạng loại 5

Lời giải:

Áp dụng công thức tớ với : u_n= u₁. q^n–1

$\Leftrightarrow$ u₅= u₁. q⁴=3 . 2⁴= 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp cho số nhân của n số hạng trước tiên nhập dãy

Ta dùng công thức:

Công thức tính tổng CSN của n số hạng trước tiên nhập sản phẩm - công thức cấp cho số nhân

Ví dụ 1: Tính tổng cấp cho số nhân:

S = 2 + 6 + 18 + 13122

Lời giải:

(u_n) với u₁=2 và q = 3.

$13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}$

Ví dụ 2: Bài cho tới cấp cho số nhân (u_n) với

$(un): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

5 số hạng đầu của cấp cho số nhân bên trên là gì?
10 số hạng đầu của cấp cho số nhân (u_n) bên trên với tổng là bao nhiêu?

Lời giải:

Giải bài bác luyện vận dụng công thức cấp cho số nhân

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$

Dãy số là cấp cho số nhân là đích thị hoặc sai?
Tính S = u₂+ u₄+ u₆... + u₂₀

Lời giải:

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const$ ko tùy theo n. Vậy sản phẩm số (U_n) là một trong cấp cho số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt{3}$
Dãy số: u₂, u₄, u₆,..., u₂₀ lập trở nên một cấp cho số nhân với số hạng đầu là u₂= 9, q = 3

$\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)$

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác quyết định những bộ phận cấu trúc nên một cấp cho số nhân như: số hạng đầu U₁, công bội q tiếp sau đó suy rời khỏi được công thức cho tới số hạng tổng quát lác .

Ví dụ 1: CSN (u_n) như sau, lần u₁ khi:

$u_{n} = \frac{2}{3^{n - 1}}$

Mà $u_{n} = \frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n - 1} = 6561 \Rightarrow n = 9$

Lời giải:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11}\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 11 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(1 + q + q^{2}) = \frac{32}{11}\\ u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{1 + q^{4}}{q(1 + q + q^{2})} = \frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow$ Ta với q = 3 hoặc $q = \frac{1}{3}$

Khi cơ thứ tự lượt $u_{1} = \frac{81}{11}$ hoặc $u_{1} = \frac{1}{11}$

Ví dụ 2: Dãy số nào là là cấp cho số nhân:

1;0,2;0,04;0,008;...
1,22,222,2222,...
X,2x,3x,4x,...
2,3,5,7,...

Lời giải:

Xét đáp án A tớ có:

u₁= 1, u₂= u₁. 0,2, u₃= u₁. (0,2)², u₄= u₁. (0,2)³

Sử dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập tớ minh chứng được u_n= (0,2)ⁿ

Khi cơ $\frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2$ ko đổi

Vậy sản phẩm số là cấp cho số nhân với công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân với sáu số hạng, hiểu được tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải:

Gọi cấp cho số nhân (u_n) cần thiết lần với công bội q, số hạng trước tiên u_n.

Ta có: $s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}$

s₅' = u₂+ u₃ + u₄ + u₅ + u₆

= u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q

= q . (u₁+ u₂+ u₃+ u₄+ u₅)

= q . S₅

Mà S₅= 31; S₅' = 62

$\Rightarrow q=2$

$u_{1}=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1$

Vậy cấp cho số nhân (u_n) là 1;2;4;8;16;32

Nắm hoàn toàn kỹ năng và cách thức giải từng dạng bài bác luyện Toán trung học phổ thông với cỗ bí quyết độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cấp cho số nhân (u_n) với công bội q vừa lòng -1 < q <1 thì cấp cho số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S_n= u₁(1 - qⁿ)(1 - q) = u₁(qⁿ- 1)(q - 1)

Trong cơ s_n là tổng n số hạng trước tiên của cấp cho số nhân (u_n)

Ví dụ: $\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243}$ là một cấp cho số nhân lùi vô hạn $q=\frac{1}{3}$

5.2. Bài toán tổng của cấp cho số nhân lùi hạn

Đề bài bác cho tới cấp cho số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy tớ với tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính tổng

$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$

Lời giải:

Đây là tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=1, q=\frac{-1}{3}$ nên

$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

Ví dụ 2: Biểu thao diễn số thập phân vô hạn tuần trả 0,777… bên dưới dạng số

Lời giải:

Ta có:

$0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}$

Vậy $0,777...=\frac{7}{9}$

Ví dụ 3: Tổng của một cấp cho số nhân lùi vô hạn là $\frac{5}{3}$ tổng tía số hạng trước tiên của sản phẩm số là $\frac{39}{25}$ . Xác quyết định (u₁), q của cấp cho số đó?

Lời giải:

Giải vấn đề vận dụng công thức cấp cho số nhân

6. Một số bài bác luyện cấp cho số nhân và cách thức giải chi tiết

Câu 1: Cho cấp cho số nhân un với công bội q

a) thạo u₁= 2, u₆ = 486. Tìm q

b) thạo $q= \frac{2}{3}$ , $u_{4} = \frac{8}{21}$ . Tính u₁

c) thạo u₁ = 3, q = -2. Xác quyết định số 192 là số hạng loại bao nhiêu nhập cấp cho số nhân?

Lời giải:

Áp dụng công thức u_n = u₁.q^n-1

a) Theo công thức bên trên tớ có: u₆ = u₁.q⁵ $\Rightarrow$ $q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{486}{2} = 243 \Rightarrow q = 3$

b) Theo công thức tớ có: u₄ = u₁.q³ $\Rightarrow u_{1} = \frac{u_{4}}{q^{3}} = \frac{8}{21} . (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{7}$

c) Theo công thức tớ có: $12 = 3.(-2)^{n - 1} \Rightarrow (-2)^{n - 1} = 64 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7$

Vậy số 192 là số hạng loại 7

Câu 2: Tìm những số hạng của cấp cho số nhân (u_n) biết cấp cho số nhân bao gồm với 5 số hạng và:

a) TH1: u₃= 3 , u₅= 27

b) TH2: u₄– u₂ = 25 , u₃ – u₁ = 50

Lời giải:

a) Theo công thức u_n = u₁.q^{n - 1} ta với theo thứ tự những số hạng u₃ và u₅ được tính như sau:

u₃ = u₁.q² $\Rightarrow$ 3 = u₁.q² (1)

u₅ = u₁.q⁴ $\Rightarrow$ 27 = u₁.q⁴ (2)

Từ (1) và (2) tớ rất có thể suy rời khỏi được

$q^{2} = \frac{u_{1}.q^{4}}{u_{1}.q^{2}} = 9 \Rightarrow q = \pm 3$

Xét ngôi trường hợp:

Với q = 3 tớ với $u_{1} = \frac{1}{3}$ ta với cấp cho số nhân theo thứ tự là: $\frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27$

Với q = -3 tớ với $u_{1} = -\frac{1}{3}$ ta với cấp cho số nhân theo thứ tự là: $\frac{1}{3}; -1; 3; -9; 27$

b) Theo đề bài bác rời khỏi tớ có:

$\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 25\\ u_{3} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 25\\ u_{1}q^{2} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 25 (1)\\ u_{1}(q^{2} - 1) = 50 (2) \end{matrix}\right.$

Thay (2) nhập phương trình (1) tớ với 50.q = 25 $\Leftrightarrow q = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow u_{1} = -\frac{200}{3}$

Vậy tớ với cấp cho số nhân như sau:

$-\frac{200}{3}; -\frac{100}{3}; -\frac{50}{3}; -\frac{25}{3}; -\frac{25}{6}$

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân với sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Tổng của 5 số hạng đầu vị 31, kể từ cơ tớ suy ra:

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 31

$\Rightarrow$ u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q = 31q

$\Rightarrow$ u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q (1)

mà tổng của 5 số hạng sau vị 62 kể từ thách suy ra

u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q = 62

vậy q = 2

Vì S₅ = 31 = $\frac{u_{1}(1 - 2^{5})}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 1$

Vậy tớ với cấp cho số nhân theo đòi đề bài bác là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng số lượng dân sinh của tỉnh x là 1 trong,4%. thạo rằng bên trên thời gian tham khảo số dân của tỉnh lúc bấy giờ là 1 trong,8 triệu con người, chất vấn với nút tăng lộc như thế thì sau 5 năm, 10 năm số nữa số lượng dân sinh của tỉnh cơ là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh cơ lúc này là N

Sau 1 năm số lượng dân sinh tăng là 1 trong,4%N

Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh này là n + 1,4%N = 101,4%N

Số dân tỉnh cơ sau từng năm lập trở nên một cấp cho số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; …

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân)

Và sau 10 năm được xem là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài bác cho tới u_n với những số hạng 0, tìm u₁ biết:

$u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}$ . Mà $u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9$

Lời giải:

Giải vấn đề vận dụng công thức cấp cho số nhân

Tham khảo tức thì một vài dạng bài bác luyện thương gặp gỡ về cấp cho số nhân được những thầy cô VUIHOC tổng hợp

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng suốt thời gian học tập kể từ thất lạc gốc cho tới 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo đòi sở thích

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô

⭐ Học đến lớp lại cho tới lúc nào hiểu bài bác thì thôi

⭐ Rèn tips tricks canh ty tăng cường thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền nhập quy trình học tập tập

Đăng ký học tập demo không tính tiền ngay!!

Trên đó là toàn cỗ lý thuyết và những dạng công thức cấp cho số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên rất có thể giải những bài bác luyện kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa đào tạo và huấn luyện nhằm học tập và ôn luyện kỹ năng Toán 11 phục vụ ôn thi đua trung học phổ thông QG tức thì kể từ thời điểm hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

Tổng hợp ý những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân và bài bác tập
Cấp số nằm trong là gì? Công thức cấp cho số nằm trong và bài bác tập
Xác suất của trở nên cố
Giới hạn của sản phẩm số

Cấp Số Nhân Là Gì? Công Thức Tính Tổng Cấp Số Nhân Và Bài Tập

1. Cấp số nhân là gì?

2. Công bội q

3. Tính hóa học cấp cho số nhân

4. Tổng hợp ý những công thức tính cấp cho số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp cho số nhân

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp cho số nhân

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp cho số nhân của n số hạng trước tiên nhập dãy

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

5.2. Bài toán tổng của cấp cho số nhân lùi hạn