Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một dạng toán thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Để giúp các em học sinh nắm vững kiến thức phần này, VnDoc gửi tới các bạn tài liệu B...
\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\)Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi...
\(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)• Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:Với hai bộ số (a1, a2, . . ...
\(\left( {a_1^2 + a_1^2 + . . ...
\(\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = . . ...
\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\)...
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {ac} \right)^2} + {\left( {ad} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} + {\left( {bd} \right)^2} \ge {\left( {ac} \right)^2} + 2abcd + {\left( {bd} ...
\(\Leftrightarrow {\left( {ad - bc} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng)4) Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki...
\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge 4abcd\)II. Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:...
\(\sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \le \sqrt 6\)Lời giải chi tiết:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:...
\(1. \sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + 1. \sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + 1...
\(\le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {\frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{a + b + c}} + \frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \right)}\)...
\(\Leftrightarrow \sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \le \sqrt {3. 2} = \sqrt 6\) (điều phải chứng minh)Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = cBài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức...
\(A = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x}\)Lời giải chi tiết:...
\(A = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x}\)Điều kiện:...
\(2 \le x \le 4\)Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:...
\({\left[ {1. \sqrt {x - 2} + 1. \sqrt {4 - x} } \right]^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {x - 2 + 4 - x} \right) = {2^2} = 4\)...
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {A^2} \le 4\\ \Leftrightarrow - 2 \le A \le 2 \end{array}\)A max = 2 khi...
\(\frac{1}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{1}{{\sqrt {4 - x} }} \Leftrightarrow x - 2 = 4 - x \Leftrightarrow x = 3\)(thỏa mãn)Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3Bài 3: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì...
\(\sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3p}\)Lời giải chi tiết:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:...
\(1. \sqrt {p - a} + 1. \sqrt {p - b} + 1...
\(\Leftrightarrow \sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3\left( {3p - 2p} \right)} = \sqrt {3p}\) (điều phải chứng minh)Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi...
\(\frac{1}{{p - a}} = \frac{1}{{p - b}} = \frac{1}{{p - c}} \Leftrightarrow a = b = c\) hay tam giác là tam giác đều. Bài 4: Cho các số thực dương a, b, c sao cho a + b + c = 3. Chứng minh:...
\(\dfrac{a}{{a + 2bc}} + \dfrac{b}{{b + 2ac}} + \dfrac{c}{{c + 2ab}} \ge 1\)Lời giải chi tiết:...
\(\begin{array}{l} \dfrac{a}{{a + 2bc}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2abc}}\\ \dfrac{a}{{a + 2bc}} + \dfrac{b}{{b + 2ac}} + \dfrac{c}{{c + 2ab}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2abc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2abc}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2abc}} \end{array}\)Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Sch...
\(\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2abc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2abc}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2abc}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 6abc}}\)Ta cần chứng minh:...
\(\,ab + bc + ca \ge 3abc \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 9abc\). Theo bất đẳng thức Cô si ta có:...
\(\,a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}},\ \ ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\)Nhân 2 vế các bất đẳng thức dương cùng chiều ta có điều phải chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. III...
\(2abc\left( {a + b + c} \right) \le \dfrac{5}{9} + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}\) . Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 trường Chuyên KHTN ĐHQG HN 2015Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c sao cho ab + bc + ca = 1Chứng minh rằng:...
\(2abc\left( {a + b + c} \right) \le \dfrac{5}{9} + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}\)Bài 3. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:...
\(\dfrac{1}{{{a^2} + ab + bc}} + \dfrac{1}{{{b^2} + bc + ca}} + \dfrac{1}{{{c^2} + ca + ab}} \le {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{{ac + ab + bc}}} \right)^2}\)Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:a,...
\(A = \sqrt {6 - x} + \sqrt {x + 2}\)b,...
\(B = \sqrt x + \sqrt {2 - x}\)Bài 5: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:...
\(\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + {a^2}} }} \le \frac{3}{{\sqrt 2 }}\)(gợi ý: biến đổi vế trái thành...
\(\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} + \sqrt {\frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} + \sqrt {\frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {a^2}}}}\) rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)Bài 6: Cho a, b, c là các số thực dương, . Chứng minh rằng:...
\(\sqrt {a - 1} + \sqrt {b - 1} + \sqrt {c - 1} \le \sqrt {c\left( {ab + 1} \right)}\)Bài 7: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:...
\(\frac{1}{{{a^3}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^3}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^3}\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{3}{2}\)Bài 8: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn x2 + y2 ≤ x + y. Chứng minh:x + 3y ≤ 2 +...
\(\sqrt{5}\)-------------------Các dạng bài tập Toán 9 ôn thi vào lớp 10 là tài liệu tổng hợp 5 chuyên đề lớn trong chương trình Toán lớp 9, bao gồm:Rút gọn biểu thức - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 1: Rút gọn và tính giá trị của bi�...